Question

18．某次数学小测验中（满分100分），某班50名学生得分如下面的频率分布直方图所示：
（1）求该班本次小测验数学成绩的平均分和中位数；
（2）已知数学老师采用分层抽样的方法在70分以上（含70分）的同学中抽取9人组成一个学习小组，再从9人中选出3人担任组长，求组长中得分在90分以上（含90分）的人数X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图，能求出该班本次小测验数学成绩的平均分和中位数．
（2）由已知得[70，80）中抽取2人，[80，90）中抽取4人，[90，100）中抽取3人，由此得到X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由频率分布直方图，得：
该班本次小测验数学成绩的平均分：
$\overline{x}$=（55×0.002+65×0.008+75×0.02+85×0.04+95×0.03）×10=83.8．
∵[50，80）的频率为：（0.002+0.008+0.02）×10=0.3，
[80，90）的频率为0.04×10=0.4，
该班本次小测验数学成绩的中位数为：80+$\frac{0.5-0.3}{0.4}×10$=85．
（2）∵数学老师采用分层抽样的方法在70分以上（含70分）的同学中抽取9人组成一个学习小组，
[70，80）的频率为0.02×10=0.2，
[80，90）的频率为0.04×10=0.4，
[90，100）的频率为0.03×10=0.3，
∴[70，80）中抽取2人，[80，90）中抽取4人，[90，100）中抽取3人，
由此得到X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{21}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{84}$

E（X）=$0×\frac{5}{21}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{3}{14}+3×\frac{1}{84}$=1．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．