Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）证明：BC⊥AE 
（2）求AE与D₁F所成的角； 
（3）设AA₁=1，求点F到平面DBB₁D₁ 的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正方体的性质，得BC⊥平面AA₁B₁B，结合AE?平面AA₁B₁B，得到BC⊥AE；
（2）取AB的中点P，并连结A₁P，EP，可证出四边形A₁D₁FP是平行四边形，可得A₁P∥D₁F．在正方形AA₁B₁B中，利用三角形全等证出A₁P⊥AE，从而得到AE⊥D₁F，即AE与D₁F所成的角为90°；
（3）过F作FG⊥BD于G，根据线面垂直的判定与性质，证出FG⊥平面DBB₁D₁，可得F到平面DBB₁D₁的距离等于FG，在正方形ABCD中易得FG=AC，结合题中数据即可得到点F到平面DBB₁D₁ 的距离．
解答：解：（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴BC⊥平面AA₁B₁B，
∵AE?平面AA₁B₁B，∴BC⊥AE 
（2）取AB的中点P，并连结A₁P，EP
正方形AA₁B₁B中，可得△A₁AP≌△ABE，
∴A₁P⊥AE，
∵ADA₁D₁PF，
∴四边形A₁D₁FP是平行四边形，可得A₁P∥D₁F
即AE⊥D₁F，所以AE与D₁F所成的角为90°
（3）过F作FG⊥BD于G，
∵BB₁⊥平面ABCD，FG?平面ABCD，
∴BB₁⊥FG
∵FG⊥BD，BD∩BB₁=B，
∴FG⊥平面DBB₁D₁，可得F到平面DBB₁D₁的距离是FG的长度，
∵正方形ABCD中，FG的长度等于CA长度的
∴F到平面DBB₁D₁ 的距离等于AC=
点评：本题在正方体中证明线面垂直，并求异面直线所成角和点到平面的距离．着重考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质和点面距离求法等知识，属于中档题．