Question

已知函数f(x)＝ax²＋lnx(a∈R)

(Ⅰ)当a＝2时，求f(x)在区间[e，e₂]上的最大值和最小值；

(Ⅱ)如果函数g(x)，f₁(x)，f₂(x)在公共定义域D上，满足f₁(x)＜g(x)＜f₂(x)，那么就称g(x)为f₁(x)，f₂(x)的“伴随函数”．已知函数．若在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是f₁(x)，f₂(x)的“伴随函数”，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)当时，；　1分 　　对于，有，∴在区间上为增函数， 　　∴．　3分 　　(Ⅱ)在区间上，函数是的“伴随函数”，则，令对恒成立，　4分 　　且对恒成立，　5分 　　∵(*)　6分 　　①若，令，得极值点，当，即时，在上有，　7分 　　此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；，也不合题意；　8分 　　②若，则有，此时在区间上恒有， 　　从而在区间上是减函数； 　　要使在此区间上恒成立，只需满足，所以．　9分 　　又因为在上是减函数． 　　，所以． 　　综合可知的取值范围是．　10分 　　另解：(接在(*)号后) 　　先考虑， 　　，　8分 　　在上递减，只要，即，解得．　7分 　　而对，且有．　8分 　　只要，即，解得，所以，　9分 　　即的取值范围是．　10分