Question

设函数f（x）=a（x-

1

x

）-lnx
（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设函数g（x）=

e

x

，若对任意x₁∈[1，e]都存在x₂∈[1，e]使g（x₁）＜f（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）要使函数f（x）在其定义域内为增函数，只需函数f′（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即a（1+

1

x2

）-

1

x

≥0在区间（0，+∞）上恒成立，然后利用分离参数法，转化为求函数的最值，即可求得实数k的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x₁∈[1，e]都存在x₂∈[1，e]使g（x₁）＜f（x₂）成立，即当x∈[1，e]，函数f（x）的最大值大于g（x）的最大值，分别求出两个函数的最大值，可得a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），
要使函数f（x）在其定义域内为增函数，只需函数f′（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，
即a（1+

1

x2

）-

1

x

≥0在区间（0，+∞）上恒成立，
即a≥

x

x2+1

在区间（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=

x

x2+1

，x∈（0，+∞），
g（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2

，当且仅当x=1时取等号，
∴a≥

1

2

；
（Ⅱ）∵函数f（x）=a（x-

1

x

）-lnx，
∴f′（x）=a（1+

1

x2

）-

1

x

=

ax2-x+a

x2

．
a＜

1

2

时，不符合题意；
a≥

1

2

时，函数f（x）在[1，e]内为增函数，f（x）_max=f（e）=a（e-

1

e

）-1；
∵g（x）=

e

x

，
∴g′（x）=-

e

x2

，
∴函数g（x）在[1，e]上单调递减，
∴g（x）_max=g（1）=e，
∴a（e-

1

e

）-1≥e，
∴a≥

e

e-1

．

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，其中将已知转化为当x∈[1，e]，函数f（x）的最大值大于g（x）的最大值是解答的关键．