Question

【题目】如图1，在中，，，为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角．

（1）求证：平面平面；

（2）设分别为的中点，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）通过计算证明出二面角为直二面角，即可证明平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求平面的法向量和平面的法向量，利用向量数量积可得二面角的余弦值.

（1）证明：在中，，

为的中点，．

又，．．

，．

二面角为直二面角，平面平面．

平面．

又平面，平面平面．

（2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

可求得，，，．

分别为的中点，

，．

，，

设平面的法向量为，

由得令，则．

设平面的法向量为，

由得令，则．

，

二面角的余弦值为．