Question

【题目】如图，直三棱柱中，，，，P为的中点．

（1）证明：平面；

（2）设E为BC的中点，线段上是否存在一点Q，使得平面？若存在，求四棱锥的体积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，

【解析】

（1）设交于点O，要证明平面，只需证明，即可；

（2）利用线面平行的判定定理可得当Q为中点，即点Q与点O重合时，∥平面，，只需求出即可.

（1）证明：在中，

∵，，，

∴，

又直三梭柱中，，则为正方形，

设交于点O，则O为的中点，且．

连接PA，，PO，

∵侧棱底面ABC，P为的中点，则

，

，

故．

∴，

∵，且PO，平面，

∴平面．

（2）当Q为中点，即点Q与点O重合时，∥平面．

理出如下：

连接，∵E为BC的中点，∴则∥

∵平面，平面，

∴∥平面．

此时，Q到平面的距离等于B到平面的距离的一半，

又，，，所以平面，

所以，

∴．