Question

3．对任意实数b及非零实数a，不等式|2a+b|+|a-b|≥|a|（|2x-1|-|x-2|）恒成立，试求x的取值范围．

Answer 1

分析 把原不等式变形，得$\frac{{|{2a+b}|+|{a-b}|}}{a}≥|{2x-1}|-|{x-2}|$，求出左边的最小值，转化为|2x-1|-|x-2|≤3，分类求解得答案．

解答 解：∵a≠0，∴原不等式等价于$\frac{{|{2a+b}|+|{a-b}|}}{a}≥|{2x-1}|-|{x-2}|$，
∵|2a+b|+|a-b|≥|（2a+b）+（a-b）|，当且仅当（2a+b）（a-b）≥0时取等号，
∴$\frac{|2a+b|+|a-b|}{|a|}≥3$，即$\frac{|2a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值是3．
依题应有|2x-1|-|x-2|≤3．
下面解不等式|2x-1|-|x-2|≤3，它等价于
$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{（2x-1）-（x-2）≤3}\end{array}\right.$，①
或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}≤x＜2}\\{（2x-1）+（x-2）≤3}\end{array}\right.$，②
或$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{1-2x+（x-2）≤3}\end{array}\right.$，③
解①得x=2； 解②得$\frac{1}{2}≤x＜2$； 解③得-4$≤x＜\frac{1}{2}$．
综上所述知，x的取值范围是[-4，2]．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．