Question

12．设定义在R上的连续函数f（x）满足：
（1）对任意的实数x，都有f（-x）-f（x）=0；
（2）对任意的实数x，都有f（x+π）+f（x）=1；
（3）当x∈[0，π]时，0≤f（x）≤1；
（4）当x∈（0，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，π）时，有（x-$\frac{π}{2}$）f′（x）＞0（其中f′（x）为函数f（x）的导函数）．
则方程f（x）=|sinx|在[-2π，2π]上的根的个数为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 利用已知条件判断函数f（x）的性质，画出函数f（x）的图象，y=|sinx|的图象，即可判断方程根的个数．

解答 解：定义在R上的连续函数f（x）满足：（1）对任意的实数x，都有f（-x）-f（x）=0，可得函数f（x）是偶函数；
（2）对任意的实数x，都有f（x+π）+f（x）=1，可得f（x+2π）+f（x+π）=1，即f（x+2π）=f（x），函数的周期为2π；
（3）当x∈[0，π]时，0≤f（x）≤1，可得函数的值域为：[0，1]；
（4）当x∈（0，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，π）时，有（x-$\frac{π}{2}$）f′（x）＞0，可知函数y=f（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）是减函数，x∈（$\frac{π}{2}$，π）是增函数．
由上作出函数y=f（x）与y=|sinx|在[-2π，2π]上的图象如图：

由图可知，方程f（x）=|sinx|在[-2π，2π]上的根的个数为8．
故选：C．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查了数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．