Question

若对任意2≤x≤5，

x

x2+3x+1

≤a恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：

x

x2+3x+1

≤a恒成立，只要

x

x2+3x+1

的最大值≤a，故转化为求

x

x2+3x+1

，2≤x≤5的最大值问题．
将分子分母同除以x，分母上函数的单调性求最值即可．

解答：解：因为2≤x≤5，所以令y=x+

1

x

，则y′=1-

1

x2

＞0，
所以y=x+

1

x

在[2，5]上单调递增，所以x=2时，y有最小值

5

2

所以有

x

x2+3x+1

=

1

x+ 1 x +3

≤

1

5 2 +3

=

2

11

，
即

x

x2+3x+1

的最大值为

2

11

，故a≥ 

2

11

．
故答案为：a≥

2

11

点评：本题考查不等式恒成立问题、分式不等式求最值、基本不等式求最值的条件等，考查转化思想．