Question

已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤3}，且f（x）在区间[-1，1]上的最小值是4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=x+5-f（x），若对任意的x∈(-∞，-

3

4

]，g(

x

m

)-g(x-1)≤4[m2g(x)+g(m)]均成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）≥0解集为{x|-2≤x≤3}，设出函数解析式，利用f（x）在区间[-1，1]上的最小值是4，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）g（x）=x+5+x²-x-6=x²-1，g(

x

m

)-g(x-1)≤4[m2g(x)+g(m)]恒成立，等价于

1

m2

-4m2≤-

3

x2

-

2

x

+1对x∈(-∞，-

3

4

]恒成立，求出右边的最小值，可得关于m的不等式，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）≥0解集为{x|-2≤x≤3}，可设f（x）=a（x+2）（x-3）=a（x²-x-6），且a＜0
对称轴x=

1

2

，开口向下，f（x）_min=f（-1）=-4a=4，解得a=-1，f（x）=-x²+x+6；…（5分）
（Ⅱ）g（x）=x+5+x²-x-6=x²-1，g(

x

m

)-g(x-1)≤4[m2g(x)+g(m)]恒成立
即

x2

m2

-1-(x-1)2+1≤4[m2(x2-1)+m2-1]对x∈(-∞，-

3

4

]恒成立
化简(

1

m2

-4m2)x2≤x2-2x-3，即

1

m2

-4m2≤-

3

x2

-

2

x

+1对x∈(-∞，-

3

4

]恒成立…（8分）
令y=-

3

x2

-

2

x

+1，记t=

1

x

∈[-

4

3

，0)，则y=-3t²-2t+1，
二次函数开口向下，对称轴为t0=-

1

3

，当t=-

4

3

时ymin=-

5

3

，
故

1

m2

-4m2≤-

5

3

…（10分）
所以（3m²+1）（4m²-3）≥0，解得m≤-

3

2

或m≥

3

2

…（12分）

点评：本题考查函数解析式的确定，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，考查学生转化化归的能力，属于中档题．