题目内容

已知：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），过点A
-a，0
，B
0，b
的直线倾斜角为
π
6
，原点到该直线的距离为
3
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过D
-1，0
与椭圆交于E，F两点，若
ED
=2
DF
，求直线EF的方程．
分析：（1）根据直线倾斜角为
π
6
，原点到该直线的距离为
3
2
，可建立方程，求得几何量，从而可求椭圆的方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，利用向量，求得坐标之间的关系，即可求得结论．
解答：解：（1）由题意，
b
a
=
3
3
，
1
2
a•b=
1
2
•
3
2
•
a2+b2
，得a=
3
，b=1，
所以椭圆方程是：
x2
3
+y2=1…（4分）
（2）设EF：x=my-1（m＞0）代入
x2
3
+y2=1，得（m2+3）y2-2my-2=0，
设E
x1，y1
，F
x2，y2
，由
ED
=2
DF
，得y1=-2y2．
由y1+y2=-y2=
2m
m2+3
，y1y2=-2y22=
-2
m2+3
…（8分）
得(-
2m
m2+3
)2=
1
m2+3
，∴m=1，m=-1（舍去），（没舍去扣1分）
直线EF的方程为：x=y-1即x-y+1=0…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．
练习册系列答案
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已知以椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F为圆心，a为半径的圆与直线l：x=
a2
c
（其中c=
a2-b2
）交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A、(
5
-1
2
，1)
B、(
3
-1
2
，1)
C、(0，
3
-1
2
)
D、(0，
5
-1
2
)
精英家教网已知半椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(x≥0)与半椭圆
y2
b2
+
x2
c2
=1(x≤0)组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A1A|＞|B1B|，求
b
a
的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．
已知过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若
AF
=2
FB
，则椭圆的离心率是
 
．
已知：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），过点A（-a，0），B（0，b）的直线倾斜角为
π
6
，原点到该直线的距离为
3
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过D（-1，0）与椭圆交于E，F两点，若
ED
=2
DF
，求直线EF的方程；
（3）是否存在实数k，直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
精英家教网如图已知，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点．
（Ⅰ）若∠AF1F2=60°，且
AF1
•
AF2
=0，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若a=
2
，b=1，求
F1A
•
F1B
的最大值和最小值．

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