Question

已知定义在实数R上的函数y＝f（x）不恒为零，同时满足f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＞0时，f（x）＞1，那么当x＜0 时，一定有（    ）

　　A．f（x）＜－1

　　B．－1＜f（x）＜0

　　C．f（x）＞1

　　D．0＜f（x）＜1

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）证明：由题设条件可得，当x∈[－1，1]时，有 　　  ， 即． （Ⅱ）答：函数g（x）满足题设条件，验证如下：g（－1）＝0＝g（1）．  对任意的， 　　  当时，有|g（u）－g（v）|＝|（1－u）－（1－v）|＝|u－v|； 　　  当时，同理有|g（u）－g（v）|＝|u－v|； 　  　当u·v<0时，不妨设u∈[－1，0]，v∈（0，1]， 有|g（u）－g（v）|＝|（1＋u）－（1－v）|＝|u＋v|≤|v－u|． 　　  所以，函数g（x）满足题设条件． （Ⅲ）答：这样的函数不存在．理由如下： 　　  假设存在f（x）满足条件，则由f（－1）＝f（1）＝0 ， 得| f（1）－f（－1）|=0          ① 　　  由于对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u）－f（v）|＝|u－v|， 　　  所以，|f（1）－f（－1）|＝|1－（－1）|＝2．  ②  ①与②矛盾，因此假设不成立， 即这样的函数不存在．