Question

已知函数．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）若数列{a_n}的通项公式为，求数列{a_n}的前m项和S_m；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足：，设，若（Ⅱ）中的S_m满足对任意不小于2的正整数n，S_m＜T_n恒成立，试求m的最大值

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函数表达式证明，只需要把函数表达式代入然后化解即可．
（Ⅱ）由1中证明的结果代入通项公式推得，然后根据前n项和与通项的关系求得数列{a_n}的前m项和S_m．
（Ⅲ）由数列b_n满足的条件求得再用（Ⅱ）中的S_m满足S_m＜T_n恒成立，直接代入求解．
解答：（Ⅰ）证明：∵，
∴，
∴．
故答案为．．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，
∴，
即．
∴，
，
又S_m=a₁+a₂++a_m-1+a_m①S_m=a_m-1+a_m-2++a₁+a_m②
①+②得，
∴答案为；
（Ⅲ）解：∵③
∴对任意n∈N^*，b_n＞0④
，
∴，
∴
∵b_n+1-b_n=b_n²＞0，∴b_n+1＞b_n．
∴数列{b_n}是单调递增数列．∴T_n关于n递增，
∴当n≥2，且n∈N^*时，T_n≥T₂．
∵，
∴．（14分）
由题意，即，
∴∴m的最大值为6．
故答案为6．
点评：此题主要考查数列求和和数列恒成立的问题，属于综合性题目难度较大，计算量要求较高，需要仔细分析．