Question

已知曲线C₁的参数方程为

x=4+5cost y=5+5sint

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）把C₁，C₂的方程化成普通方程；
（2）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ＞0，O≤θ＜2π）．

Answer 1

分析：（1）把给出的参数方程移项后两边平方作和即可化为普通方程；把给出的极坐标方程两边同时乘以ρ，利用ρ²=x²+y²，ρsinθ=y即可化极坐标方程为普通方程；
（2）联立方程组求解交点的直角坐标，然后直接化为极坐标．

解答：解：（1）由

x=4+5cost y=5+5sint

，得

x-4=5cost y-5=5sint

，平方作和得（x-4）²+（y-5）²=25．
由ρ=2sinθ，得ρ²=2ρsinθ，即x²+y²-2y=0．
∴C₁的普通方程为（x-4）²+（y-5）²=25，
C₂的普通方程为x²+y²-2y=0；
（2）联立

(x-4)2+(y-5)2=25 x2+y2-2y=0

，解得：

x=0 y=2

或

x=1 y=1

．
∴C₁与C₂交点的坐标为（0，2），（1，1）．
化极坐标为：（2，

π

2

），（

2

，

π

4

）．

点评：本题考查了参数方程化普通方程，极坐标方程化普通方程，考查了点的直角坐标化极坐标，训练了二元二次方程组的解法，是基础的计算题．