Question

已知曲线C₁的参数方程为

x=2sinθ y=cosθ

（θ为参数），曲线C₂的参数方程为

x=2t y=t+1

（t为参数）．
（1）若将曲线C₁与C₂上各点的横坐标都缩短为原来的一半，分别得到曲线C₁′和C₂′，求出曲线C₁′和C₂′的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C₂′垂直的直线的极坐标方程．

Answer 1

分析：（1）横坐标都缩短为原来的一半，就是将x的值变为原来的一半就可求出变换后的曲线方程，再利用同角三角函数的关系进行消元即可；
（2）先求出过原点且与曲线C₂′垂直的直线方程的普通方程，再将普通方程化成极坐标方程即可．

解答：解：（1）C₁′：

x=sinθ y=cosθ

（θ为参数），（2分）
C₂′：

x=t y=t+1

（t为参数）（4分）
C₁′的普通方程：x²+y²=1，C₂′的普通方程：y=x+1（6分）
（2）在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C₂′垂直的直线方程：即为y=-x（8分）
在极坐标系中，直线化为tanθ=1，方程为θ=

π

4

或θ=

3π

4

点评：本题主要考查了圆的参数方程，以及简单曲线的极坐标方程和直线的参数方程，属于基础题．