题目内容
【题目】已知动圆
过定点
且与
轴相切，点
关于圆心的对称点为
，点的轨迹为
.
（1）求曲线的方程；
（2）一条直线经过点，且交曲线于
、
两点，点
为直线
上的动点.
①求证：
不可能是钝角；
②是否存在这样的点，使得
是正三角形？若存在，求点的坐标：否则，说明理由.
【答案】（1）
；（2）①证明见详解；②存在，
.
【解析】
（1）设出E点的坐标，根据EF中点为M，MF的距离等于M点纵坐标的绝对值，整理化简即可求得；
（2）①将证明钝角的问题，转化为
是否可以成立的问题，从而进行证明；
②假设存在这样的点，则C点到AB中点的距离等于
，据此求解.
（1）设
，由
在圆上，且点
关于圆心
的对称点为
.
故
所以
，则
化简得，
所以曲线
的方程为
（2）①设直线
：
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
+1
故
不可能为钝角
②假设存在这样的点
，设中点为
由①知
由
，故
得
所以
又
由
，得
所以存在点满足题意.
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