Question

【题目】如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，．

Ⅰ求证：平面BDE；

Ⅱ求直线MN到平面BDE的距离；

Ⅲ求二面角的大小．

Answer 1

【答案】Ⅰ见解析；Ⅱ；Ⅲ

【解析】

Ⅰ以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BDE．

Ⅱ求出0，，利用向量法得直线MN到平面BDE的距离．

Ⅲ求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．

Ⅰ在三棱锥中，底面ABC，点D，E分别为棱PA，PC的中点，

M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，

．

以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，

建立空间直角坐标系，

0，，0，，4，，

2，，0，，0，，

2，，

2，，0，，

2，，

设平面BDE的法向量y，，

则，取，得0，，

，平面BDE，

平面BDE．

Ⅱ，0，，

直线MN到平面BDE的距离：

．

Ⅲ平面BDE的法向量0，，

平面DEP的法向量0，，

设二面角的大小为，

则．

．

二面角的大小为．