Question

12．证明：函数y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$满足关系式y³y″+1=0．

Answer 1

分析 根据导数的运算法则先求导，再求导，代值计算即可．

解答 证明：y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$=（2x-x²）${\;}^{\frac{1}{2}}$，
∴y′=$\frac{1}{2}$（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$（2x-x²）′=（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$（1-x），
∴y″=-$\frac{1}{2}$（2x-x²）${\;}^{-\frac{3}{2}}$（2-2x）•（1-x）-（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$=-（2x-x²）${\;}^{-\frac{3}{2}}$•（1-x）²-（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$，
∴y³y″+1=[-（2x-x²）${\;}^{-\frac{3}{2}}$•（1-x）²-（2x-x²）${\;}^{-\frac{1}{2}}$]•（2x-x²）${\;}^{\frac{3}{2}}$+1=-（1-x）²-2x+x²+1=-1-x²+2x-2x+x²+1=0

点评 本题考查了导数的运算法则和复合函数的求导法则，以及指数幂的运算性质，属于中档题．