Question

5．设命题p：方程$\frac{x^2}{9-k}$+$\frac{y^2}{k-1}$=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{k}$=1的离心率e∈（1，2）．
（1）若“p且q”为真命题，求k的取值范围；
（2）当k=6时，求双曲线的焦点到渐近线的距离．

Answer 1

分析 （1）分别求出命题p，q为真时，k的范围，若“p且q”为真命题，求两个范围的交集即可；
（2）双曲线的焦点到渐近线的距离d=b，将k=6代入可得答案．

解答 解：（1）若命题p：方程$\frac{x^2}{9-k}$+$\frac{y^2}{k-1}$=1表示焦点在y轴上的椭圆为真，
则0＜9-k＜k-1，
解得：k∈（5，9）；
若双曲线$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{k}$=1的离心率e∈（1，2），
则：k∈（0，12），
若“p且q”为真命题，则k∈（0，12），
（2）当k=6时，双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$的b²=6，
解得：b=$\sqrt{6}$，
故双曲线的焦点到渐近线的距离d=b=$\sqrt{6}$．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，椭圆和双曲线的简单性质，难度中档．