题目内容
13．已知函数f（x）=（x-2）2，f'（x）是函数f（x）的导函数，设a1=3，an+1=an-$\frac{{f（{a_n}）}}{{f'（{a_n}）}}$．（I）证明：数列{an-2}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（II）令bn=n（an-2），求数列{bn}的前n项和Sn．
分析 （I）f′（x）=2（x-2），由an+1=an-$\frac{{f（{a_n}）}}{{f'（{a_n}）}}$，可得an+1=$\frac{1}{2}$an+1，变形an+1-2=$\frac{1}{2}$（an-2），利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由题意bn=n（an-2）=n•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．
解答 （I）证明：f′（x）=2（x-2），由an+1=an-$\frac{{f（{a_n}）}}{{f'（{a_n}）}}$，
可化为an+1=$\frac{1}{2}$an+1，变形为an+1-2=$\frac{1}{2}$（an-2），
∴{an-2}是以a1-2=1为首项，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴an-2=（a1-2）•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴an=2+$（\frac{1}{2}）^{n-1}$；
（II）解：由题意bn=n（an-2）=n•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
则Sn=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$Sn=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$Sn=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
∴Sn=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．
点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | （1，$\sqrt{2}$） | B． | （1，$\sqrt{5}$） | C． | （$\sqrt{2}$，2） | D． | （$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$） |