Question

10．定义在R上的函数y=f（x）满足：f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x），则f（2015）=-1．

Answer 1

分析 根据f（1+x）=f（1-x）即可得出f（-x）=f（x+2），而f（-x）=-f（x），从而可得出f（x）=f（x+4），这便说明f（x）是周期为4的周期函数，从而可得出f（2015）=f（-1），通过条件可求出f（-1），从而可得出f（2015）的值．

解答 解：根据条件：
f（x）关于x=1对称，且f（-x）=-f（x）；
∴f（-x）=f（x+2）=-f（x）；
∴f（x）=-f（x+2）=f（x+4）；
∴f（x）是以4为周期的周期函数；
∴$f（2015）=f（4•504-1）=f（-1）=sin（-\frac{π}{2}）=-1$．
故答案为：-1．

点评 考查由f（a-x）=f（b+x）可得出f（x）关于$x=\frac{a+b}{2}$对称，并可得到f（-x）=f（a+b+x），以及周期函数的定义，已知函数求值的方法．