题目内容
13．已知等比数列{an}的各项都为正数，若a1+a2+a3+a4+a5+a6=1，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{6}}$=10，则a1•a2•a3•a4•a5•a6=$\frac{1}{1000}$．分析 设等比数列的公比为q，由求和公式可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=1，$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{6}}）}{1-\frac{1}{q}}$=10，两式相除化简可得a12•q5=$\frac{1}{10}$．而a1•a2•a3•a4•a5•a6=（a12•q5）3，代值计算可得．
解答 解：设等比数列的公比为q，则q＞0，
∵a1+a2+a3+a4+a5+a6=1，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{6}}$=10，故q≠1，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=1，$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{6}}）}{1-\frac{1}{q}}$=10，
两式相除可得$\frac{{{a}_{1}}^{2}（1-{q}^{6}）（1-\frac{1}{q}）}{（1-q）（1-\frac{1}{{q}^{6}}）}$=$\frac{1}{10}$
化简可得a12•q5=$\frac{1}{10}$．
∴a1•a2•a3•a4•a5•a6=a16•q15=（a12•q5）3=$\frac{1}{1000}$
故答案为：$\frac{1}{1000}$．
点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．
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