题目内容
5.如图$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$不共线,P点在AB上,求证:存在实数λ,μ且λ+μ=1,使$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$.思考:有本题你想到了什么?(用向量证明三点共线)分析 根据条件三点A,B,P共线,从而存在实数k,使得$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}$,从而可得到$\overrightarrow{OP}=(1-k)\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}$,只需令λ=1-k,μ=k,便可得到$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$,并且满足λ+μ=1,这样即可得出要证的结论.
解答 证明:∵A,B,P三点共线;
∴存在实数k,使$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}$;
∴$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=k(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})$;
∴$\overrightarrow{OP}=(1-k)\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}$;
令λ=1-k,μ=k;
∴$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$,且λ+μ=1;
∴存在实数λ,μ且λ+μ=1,使$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$;
由本题想到:若存在实数λ,μ,λ+μ=1,使$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$,则A,B,P三点共线.
点评 考查共线向量基本定理,向量的减法和数乘运算,并且能够看出,证明过程逆回去便得到三点共线,这便是用向量证明三点共线的方法.
A. | (0,1) | B. | (1,3) | C. | (1,+∞) | D. | (3,+∞) |
A. | (-∞,0) | B. | (0,1] | C. | (-∞,1) | D. | (1,2) |