Question

已知函数g（x）=，f（x）=g（x）-ax（a＞0）．
（I）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（Ⅲ）当a≥时，若?x₁，x₂∈[e，e²]使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）求导函数，利用导数的正负可得函数的单调区间；
（Ⅱ）由函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，可得-a≤0在（1，+∞）上恒成立，求出导函数的最值，即可求实数a的最小值；
（Ⅲ）当a≥时，若?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，等价于x∈[e，e²]，使f（x）_min≤f′（x）_max+a．求出最值，即可确定a的取值范围．
解答：解：函数g（x），f（x）的定义域均为（0，1）∪（1，+∞），且f（x）=（a＞0）
（I）∵，∴x＞e时，g′（x）＞0，0＜x＜e且x≠1时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）的单调增区间是（e，+∞），单调减区间为（0，1），（1，e）；
（Ⅱ）∵函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴-a≤0在（1，+∞）上恒成立
∵=+
∴当，即x=e²时，
∴
∴
∴实数a的最小值；
（Ⅲ）当a≥时，若?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，等价于x∈[e，e²]，使f（x）_min≤f′（x）_max+a．
由（Ⅱ）知，x∈[e，e²]，f′（x）_max=
当a≥时，可得f（x）在[e，e²]上为减函数，∴f（x）_min=f（e²）=
∴
∴，又，故实数a的取值范围
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．