Question

已知二次函数f（x）的图象与坐标轴分别交于点（1，0）、（3，0）、（0，2）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）已知函数g（x）=log₂x的定义域为{x|f（x）＜2}，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出二次函数的解析式，把给出的三个点的坐标代入解析式列方程组求解；
（Ⅱ）解一元二次不等式求出函数g（x）的定义域，解对数不等式求函数g（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为二次函数，所以设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），又f（x）的图象与坐标轴分别交于点（1，0）、（3，0）、（0，2）．
则

f(1)=0 f(3)=0 f(0)=2

⇒

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=2

，解得：a=

2

3

，b=-

8

3

，c=2，
故f(x)=

2

3

x2-

8

3

x+2；
（Ⅱ）由f(x)=

2

3

x2-

8

3

x+2＜2，得：x²-4x＜0，所以0＜x＜4，
所以{x|f（x）＜2}={x|0＜x＜4}，
所以g（x）的定义域为（0，4），
由0＜x＜4，得：log₂x＜log₂4=2，则g（x）∈（-∞，2），
所以函数g（x）的值域为（-∞，2）．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的值域，训练了求解函数解析式的常用方法，此题是中低档题．