Question

已知数列{a_n}具有性质：①a₁为整数；②对于任意的正整数n，当a_n为偶数时，；当a_n为奇数时，．
（1）若a₁=64，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁，a₂，a₃成等差数列，求a₁的值；
（3）设（m≥3且m∈N），数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：．

Answer 1

解：（1）由，可得，，…，，，，a₉=0，…，
即{a_n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．　　  
故数列{a_n}的通项公式为．　       
（2）若a₁=4k（k∈Z）时，，，
由a₁，a₂，a₃成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a₁=0；
若a₁=4k+1（k∈Z）时，，
由a₁，a₂，a₃成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a₁=-3；
若a₁=4k+2（k∈Z）时，，，
由a₁，a₂，a₃成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a₁=2；
若a₁=4k+3（k∈Z）时，，，
由a₁，a₂，a₃成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a₁=-1；
∴a₁的值为-3，-1，0，2．                              　  

（3）由（m≥3），可得，，，
若，则a_k是奇数，从而，
可得当3≤n≤m+1时，成立．                
又，a_m+2=0，…
故当n≤m时，a_n＞0；当n≥m+1时，a_n=0．            
故对于给定的m，S_n的最大值为a₁+a₂+…+a_m=（2^m-3）+（2^m-1-2）+（2^m-2-1）+（2^m-3-1）+…+（2¹-1）=（2^m+2^m-1+2^m-2+…+2¹）-m-3=2^m+1-m-5，
故．                                    

分析：（1）由，可得{a_n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a_n}的通项公式即可；
（2）对a₁进行分类讨论：若a₁=4k（k∈Z）时；若a₁=4k+1（k∈Z）时；若a₁=4k+2（k∈Z）时；若a₁=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出a₁的值；
（3）由（m≥3），可得a₂，a₃，a₄．若，则a_k是奇数，可得当3≤n≤m+1时，成立，又当n≤m时，a_n＞0；当n≥m+1时，a_n=0．故对于给定的m，S_n的最大值为2^m+1-m-5，即可证出结论．
点评：本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．