Question

已知正四面体ABCD的棱长为2，所有与它的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和是
（　　）

• A、3+

  3

• B、4
• C、3
• D、

  3

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：根据题意，到正四面体ABCD四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个．因此作出示意图，其中E、F、G、H、I是各条棱的中点，根据题中数据分别算出△EFG与四边形EGHI的面积，从而可得所有满足条件的截面面积之和．

解答： 解：设E、F、G分别为AB、AC、AD的中点，连结EF、FG、GE，
则△EFG是三棱锥A-BCD的中截面，
可得平面EFG∥平面BCD，点A到平面EFG的距离等于平面EFG与平面BCD之间的距离，
∴A、B、C、D到平面EFG的距离相等，即平面EFG是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面．
正四面体ABCD中，象△EFG这样的三角形截面共有4个．
∵正四面体ABCD的棱长为2，可得EF=FG=GE=1，
∴△EFG是边长为1的正三角形，可得S_△EFG=

1

2

EF•FG•sin60°=

3

4

．
取CD、BC的中点H、I，连结GH、HI、IE，
∵EI、GH分别是△ABC、△ADC的中位线，
∴EI

∥

.

1

2

AC，GH

∥

.

1

2

AC，得EI

∥

.

GH，可得四边形EGHI为平行四边形，
又∵AC=BD且AC⊥BD，EI

∥

.

1

2

AC，HI

∥

.

1

2

BD，
∴EI=HI且EI⊥HI，可得四边形EGHI为正方形，其边长为

1

2

AC=1，由此可得正方形EGHI的面积S_EGHI=1．
∵BC的中点I在平面EGHI内，∴B、C两点到平面EGHI的距离相等．
同理可得D、C两点到平面EGHI的距离相等，且A、B两点到平面EGHI的距离相等．
∴A、B、C、D到平面EGHI的距离相等，可得平面EGHI是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面．
正四面体ABCD中，象四边形EGHI这样的正方形截面共有3个．
因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于4S_△EFG+3S_EGHI=4×

3

4

+3×1=3+

3

．
故选：A

点评：本题给出棱长为2的正四面体，求到它的各个顶点等距离的所求截面之和．着重考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，属于中档题．