Question

已知函数.
（1）若函数为奇函数，求a的值；
（2）若函数在处取得极大值，求实数a的值；
（3）若，求在区间上的最大值．

Answer 1

（1）；（2）;(3) 当时，在取得最大值;
当时, 取得最大值.

试题分析：（1）首先求出导数：，
代入得：.
因为为奇函数，所以必为偶函数，即，
所以.
（2）首先求出函数的极大值点.又由题设：函数在处取得极大值.二者相等，便可得的值.
（3）.
由得：.
注意它的两个零点的差恰好为1，且必有.
结合导函数的图象，可知导函数的符号，从而得到函数的单调区间和极值点.
试题解析：（1）因为，
所以                           2分
由二次函数奇偶性的定义，因为为奇函数，
所以为偶函数，即，
所以                                               4分
(2)因为.
令，得，显然.
所以随的变化情况如下表：

	+	0	-	0	+
	递增	极大值	递减	极小值	递增

 由此可知，函数在处取得极大值.
又由题设知：函数在处取得极大值，所以.
（3）.
令，得.因为，所以.
当时，对成立，
所以当时，取得最大值;
当时，在时，，单调递增，在时，，单调递减，所以当时，取得最大值;
当时，在时，，单调递减，所以当时，取得最大值;
综上所述, 当时，在取得最大值;
当时, 取得最大值.               13分