Question

函数f（x）=2sin²x+sin（2x+

π

6

）在区间[0，

π

2

]的最大值和最小值分别为（　　）

• A．2，

  1

  2

• B．

  3

  2

  ，

  1

  2

• C．2，1-

  3

  2

• D．1+

  3

  2

  ，1-

  3

  2

Answer 1

分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为1+sin（2x-

π

6

）．由x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．

解答：解：函数f（x）=2sin²x+sin（2x+

π

6

）=1-cos2x+

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=1+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=1+sin（2x-

π

6

）．
由x∈[0，

π

2

]，可得 2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，故当2x-

π

6

=

π

2

时，函数f（x）取得最大值为1+1=2，
当2x-

π

6

=-

π

6

时，函数f（x）取得最小值为1-

1

2

=

1

2

，
故选A．

点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．