Question

【题目】已知函数（）

（1）当，证明；

（2）如果函数有两个极值点，（），且恒成立，求实数k的取值范围.

（3）当时，求函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，（2），（3）时有一个零点，当且时，有两个零点.

【解析】

（1）只需证明，构造函数，利用导数易得证；
（2）求导后可知的两根分别为，，进而可得，表示出，构造函数求其在定义域上的最大值即可；
（3）研究可知，再分类讨论结合导数及零点存在性定理即可得出结论．

（1）时，等价于证明：

即证，令

，当时，，单调递减

当时，，单调递增

∴，∴，证毕!

（2）的两根分别为，

∴，解得

∴

显然在上单调递减.

∴

∴

（3）当时，，令

∴其只有一个正数根，（）

且当时，，单调递增；当时，，单调递减

∴最大值

令，

（）

令当时，，单调递减；

当时，，单调递增

∴

∴

①当，即时，，此时只有一个零点

②当，即且时，此时，注意到

（i）当时，，而

令取知

∴在上有一个零点，另一个零点为1

（ii）当，即时，此时取知

∴有一个零点为1，另一零点在上，

故时有一个零点，当且时，有两个零点.