题目内容
【题目】
已知函数
.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线
的切线.
【答案】（1）函数
在
和
上是单调增函数，证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
（1）对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性；
（2）先求出曲线
在
处的切线
，然后求出当曲线
切线的斜率与斜率相等时，证明曲线切线
在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.
（1）函数的定义域为
，
，因为函数的定义域为，所以
，因此函数在和上是单调增函数；
当
，时，
，而
，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；
当
时，
，
因为
，所以函数在
必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点
综上所述，函数的定义域内有2个零点；
（2）因为
是的一个零点，所以
，所以曲线在处的切线的斜率
，故曲线在处的切线的方程为：
而
，所以的方程为
，它在纵轴的截距为
.
设曲线的切点为
，过切点为切线，
，所以在处的切线的斜率为
，因此切线的方程为
，
当切线的斜率
等于直线的斜率时，即
，
切线在纵轴的截距为
，而，所以
，直线
的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.
【题目】对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组 | 频数 | 频率 |
[10，15） | 10 | 0.25 |
[15，20） | 25 | n |
[20，25） | m | p |
[25，30） | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有基本事件，并求至多1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入
万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从
开始计数的. [附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.]
（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
（2）试估计该公司投入
万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
（3）该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的数据显示, 
与
之间存在着线性相关关系,请将（2）的结果填入空白栏,并求出
关于
的回归直线方程.
