Question

如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60º, M为AB边上不与端点重合的动点，且CM与DA分别延长后交于点N,若以菱形的对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并设BM＝2t （0＜t＜1）．

（1）试用t表示与,并求它们所成角的大小；

（2）设f（t）＝·，g（t）＝at＋4－2a（a＞0），分别根据以下条件，求出实数的取值范围：

①存在t1,t2∈（0,1），使得＝g（t2）；

②对任意t1∈（0,1），恒存在t2∈（0,1），使得＝g（t2）．

 

Answer 1

（1）；（2）①；②．

【解析】

试题分析：（1）过点作坐标轴的垂线段，由菱形的边长为2，，为边上不与端点重合的动点，，可得点的坐标，进而可得向量的坐标，由，可得的长，进而得到点坐标，可得向量的坐标，结合向量夹角公式，可得他们的夹角；（2）由（1）可得的解析式，分别求出两个函数的值域；①若存在，使得成立，则只要两函数的值域与存在公共元素即可，②对任意，恒存在，使得成立，则时，函数必取遍函数值域中的所有值，此即，从而可得取值范围．

试题解析：（1） 过点M作坐标轴的垂线段，则依题设易求得

M点的坐标为：M（, 1－t） ⇒＝（, 1－t），··· ⑴

依题设知：△ABD为正三角形，故＝（0, －1），由此知：

＝－＝（, 2－t），······ ⑵

又依题设知：△BCM∽△ANM ⇒ ＝＝＝⇒ AN＝,又∠NAx＝30º,

以求得，yN＝AN·sin30º＝，且xN＝＋AN·cos30º＝，由此可得：＝（,），

又＝（0, 1），⇒ ＝－＝（,）．······ ⑶

由⑵，⑶两式得：·＝2（），且||||＝4（）．

故cos＜，＞＝，又＜，＞∈[0,π] ⇒ ＜，＞＝60º为所求．

（2）由（1）知：f（t）＝2（），且由0＜t＜1知：f（t）＞2⇒函数y＝的值域为A＝（0,1）．

另由a＞0知：函数y＝g（t），t1∈（0,1）的值域为：B＝（4－2a,4－a）．

①若存在t1,t2∈（0,1），使得＝g（t2） 成立，则只要两函数的值域A＝（0,1）与B＝（4－2a,4－a）

存在公共元素即可．此时A与B间的关系有以下三种可能：

（1） A⊆B时，则必 ⇒ 2≤a≤3；

（2） A∩B≠ 时，则0＜4－2a＜1，或0＜4－a＜1，⇒＜a＜2，或3＜a＜4；

（iii） B⊆A时，则必 ⇒a无解． 综上，＜a＜4，为所求．

②对任意t1∈（0,1），恒存在t2∈（0,1），使得＝g（t2）成立，则t∈（0,1）时，函数y＝g（t）必取遍函数y＝值域A＝（0,1） 中的所有值，此即A⊆B，故由①知：2≤a≤3为所求．

考点：函数的图象和性质，平面向量共线，夹角，数量积．