Question

若x∈[-1，1]时，2^2x-1＜a^x+1恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A．（2，+∞）
• B．（

  3

  ，+∞）
• C．（

  2

  ，+∞）
• D．（

  5

  ，+∞）

Answer 1

分析：对于x∈[-1，1]时，2^2x-1＜a^x+1恒成立，两边取对数后，构造函数f（x），转化为在x∈[-1，1]时f（x）＜0恒成立问题，求出a的取值范围．

解答：解：∵x∈[-1，1]时，2^2x-1＜a^x+1恒成立，
∴（2x-1）lg2＜（x+1）lga，
即（2lg2-lga）x＜lga+la2，
即xlg

4

a

-lg（2a）＜0；
设f（x）=xlg

4

a

-lg（2a），
在x∈[-1，1]时f（x）＜0恒成立，
当a≥4时，f（x）在[-1，1]上是减函数，有最大值f（-1）=-lg

4

a

-lg（2a）=-lg8＜0恒成立，
当1＜a＜4，或0＜a＜1时，f（x）在[-1，1]上是增函数，有最大值f（1）=lg

4

a

-lg（2a）=lg

2

a2

＜0，
得a²＞2，
∴a＞

2

，
综上，实数a的取值范围是a＞

2

；
故选：C．

点评：本题考查了指数函数、对数函数的性质与应用，也考查了分类讨论思想，是易错题．