Question

已知函数f（x）=x²+a，（x∈R）．
（1）对?x₁，x₂∈R比较

1

2

[f(x1)+f(x2)]与f(

x1+x2

2

)的大小；
（2）若x∈[-1，1]时，有|f（x）|≤1，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对?x₁，x₂∈R，用作差法比较两个数的大小关系．
（2）由于|f（x）|≤1，等价于-x²-1≤a≤-x²+1在[-1，1]上恒成立，即

a≥(-x2-1)max，x∈[-1，1] a≤(-x2+1)min，x∈[-1，1]

，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）对?x₁，x₂∈R，由

1

2

[f(x1)+f(x2)]-f(

x1+x2

2

)=

1

4

(x1-x2)2≥0，得

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)．
（2）由于|f（x）|≤1，等价于-1≤f（x）≤1，等价于-1≤x²+a≤1，等价于-x²-1≤a≤-x²+1在[-1，1]上恒成立，
所以，只须

a≥(-x2-1)max，x∈[-1，1] a≤(-x2+1)min，x∈[-1，1]

，求得-1≤a≤0，所以所求实数a的取值范围是[-1，0]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式比较大小的方法，求二次函数在闭区间上的最值，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．