Question

（2008•如东县三模）设函数f（x）=lnx．
（Ⅰ）证明函数g（x）=f（x）-

2(x-1)

x+1

在x∈（1，+∞）上是单调增函数；
（Ⅱ）若不等式1-x²≤f（e^1-2x）+m²-2bm-2，当b∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）只需求出g′（x），证明g′（x）≥0；
（Ⅱ）原不等式即为m²-2bm-2≥1-（x-1）²在b∈[-1，1]时恒成立．由1-（x-1）²的最大值为1知，只需m²-2bm-3≥0在b∈[-1，1]时恒成立．令Q（b）=m²-2bm-3，则Q（-1）≥0，且Q（1）≥0．解出即可；

解答：（I）证明：∵g′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，
当x＞1时，g'（x）＞0，
∴g（x）在x∈（1，+∞）上是单调增函数．
（II）∵f（e^1-2x）=lne^1-2x=1-2x，
∴原不等式即为m²-2bm-2≥1-（x-1）²在b∈[-1，1]时恒成立．
∵1-（x-1）²的最大值为1，∴m²-2bm-3≥0在b∈[-1，1]时恒成立．
令Q（b）=m²-2bm-3，则Q（-1）≥0，且Q（1）≥0．
由Q（-1）≥0，m²+2m-3≥0，解得m≥1或m≤-3．
由Q（1）≥0，m²-2m-3≥0，解得m≥3或m≤-1．
∴综上得，m≥3或m≤-3．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值及恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力．