Question

（2012•广元三模）设函数f（x）=

e x

x 2   +ax-a

(-4＜a＜0)．
（I）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点的横坐标；
（Ⅲ）若x∈[-1，1]时，f（x）单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）记g（x）=x²+ax-a（-4＜a＜0），由△=a²+4a=a（a+4）＜0可求函数f（x）的定义域为R；
（Ⅱ）令f′（x）=0即可求得函数f（x）的极值点的横坐标；
（Ⅲ）x∈[-1，1]时，f（x）单调递增?x∈[-1，1]时，f′（x）≥0，构造函数g（x）=x²-（2-a）x-2a，则x∈[-1，1]时，g（x）的最小值g（x）_min≥0即可．

解答：解：（Ⅰ）记g（x）=x²+ax-a（-4＜a＜0），
∴△=a²+4a=a（a+4）＜0，
∴g（x）的图象开口向上，且与x轴没交点，即x∈R时，g（x）＞0，
∴f（x）的定义域为（-∞，+∞）…4′
（Ⅱ）f′（x）=

ex(x2+ax-a)-ex(2x+a)

(x2+ax-a)2

=

ex[x2- (2-a)x-2a]

(x2+ax-a)2

…6′
由f′（x）=0得：x²-（2-a）x-2a=0，解得x=2或x=-a
∴函数f（x）的极值点的横坐标为2或-a…8′
（Ⅲ）∵x∈[-1，1]时，f（x）单调递增，
∴x∈[-1，1]时，f′（x）≥0，即x²-（2-a）x-2a≥0…10′
设g（x）=x²-（2-a）x-2a，
则x∈[-1，1]时，g（x）的最小值g（x）_min≥0即可…11′
而g（x）的图象开口向上，对称轴为：x=

2-a

2

，
∵-4＜a＜0，
∴1＜

2-a

2

＜3，
∴g（x）在x∈[-1，1]时是减函数，…12′
∴g（x）_min=g（1）=1-（2-a）-2a=-a-1≥0，
∴a≤-1．
∴实数a的取值范围是（-4，-1]．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，着重考查函数的单调性与导数的关系，考查构造函数的思想，化归思想的应用，属于难题．