Question

已知在（

3	x

-

1

2 3 x

）ⁿ的展开式中，第6项为常数项，则展开式中任取一项，所取项为有理项的概率P=

 

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：通过第6项T₅₊₁为常数项，即可直接求n；求出二项式的展开式，通过x的幂指数为正整数，可得展开式中的有理项．然后求出概率．

解答： 解：（

3	x

-

1

2 3 x

）ⁿ的展开式中的展开式中，T₆=

C

5 n

(

3	x

)n-5(-

1

2 3 x

)5=-

1

32

C

5 n

x

n-10

3

，是常数项，
∴n-10=0  故n=10．
设展开式中的有理项为T_r+1=

C

r 10

(-

1

2

)r•x

10-2r

3

，
则

10-2r

3

∈Z，r=0，1，2，3…10，
故r=2，5，8时，展开式中的有理项分别为第3项，第6项，第9项．
展开式共有11项，
展开式中任取一项，所取项为有理项的概率P=

3

11

．
故答案为：

3

11

．

点评：本题考查二项式定理的应用，注意项数与r之间的关系，基本知识的考查．