Question

已知动点P到定点的距离与点P到定直线l：的距离之比为．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若，求|MN|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设点P坐标，再根据定点的距离与点P到定直线l：的距离之比为求得方程．
（2））先由点E与点F关于原点O对称，求得E的坐标，再根据直线l的方程设M、N坐标，然后由，即6+y₁y₂=0．构建，再利用基本不等式求得最小值．
解答：解：（1）设点P（x，y），
依题意，有．
整理，得．
所以动点P的轨迹C的方程为．
（2）∵点E与点F关于原点O对称，
∴点E的坐标为．
∵M、N是直线l上的两个点，
∴可设，（不妨设y₁＞y₂）．
∵，
∴．
即6+y₁y₂=0．即．
由于y₁＞y₂，则y₁＞0，y₂＜0．
∴．
当且仅当，时，等号成立．
故|MN|的最小值为．
点评：本小题主要考查椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力