Question

已知动点P到直线l：x=--

4 3

3

的距离d₁，是到定点F（-

3

，0）的距离d₂的

2 3

3

倍．
（1） 求动点P的轨迹方程；
（2） 若直线m：y=k（x+1）（k≠o）与点P的轨迹有两个交点A、B，求弦AB的中垂线n在y轴上的截距y₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），则d1=|x+

4 3

3

| ，d2=

(x+ 3 )2+y2

，由题设知|x+

4 3

3

| =

2 3

3

(x+ 3 )2+y2

，由此能求出动点P的轨迹方程．
（2）将y=k（x+1）（k≠0）代入

x2

4

+y2=1，消去y，得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

，y1+y2=k(x1+x2+2)=

2k

1+4k2

，弦AB的中点为(-

4k2

1+4k2

，

k

1+4k2

)，中垂线n的方程为y-

k

1+4k2

=-

1

k

(x+

4k2

1+4k2

)，由此能求出y₀的取值范围．

解答：解：（1）设P（x，y），则d1=|x+

4 3

3

| ，d2=

(x+ 3 )2+y2

，
由题设知|x+

4 3

3

| =

2 3

3

(x+ 3 )2+y2

，
平方整理可得

x2

4

+y2=1．
（2）将y=k（x+1）（k≠0）代入

x2

4

+y2=1，
消去y，得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

，
y1+y2=k(x1+x2+2)=

2k

1+4k2

，
弦AB的中点为(-

4k2

1+4k2

，

k

1+4k2

)，中垂线n的方程为y-

k

1+4k2

=-

1

k

(x+

4k2

1+4k2

)，
令x=0，可得y0=-

3k

1+4k2

，
∵k≠0，

3k

1+4k2

=-

3

1 k +4k

，

1

k

+4k≥4或

1

k

+4k≤-4，
∴-

3

4

≤-

3k

1+4k2

≤

3

4

，且-

3k

1+4k2

≠0，
即y₀的取值范围是[-

3

4

，0)∪(0，

3

4

]．

点评：本题考查直线 和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．