题目内容
数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=
Sn(n=1,2,3,…),求证:(1)数列{
}是等比数列；(2)Sn+1=4an.
思路分析：解答本题的关键在于利用公式an=
证明：(1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).
整理得nSn+1=2(n+1)Sn.
所以
=2
.
故{
}是以2为公比的等比数列.
(2)由(1)知
=4·
(n≥2),于是Sn+1=4(n+1)·
=4an(n≥2).
又a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4.
因此对于任意正整数n≥1,都有Sn+1=4an.
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