Question

已知函数，，(其中)，设.
（Ⅰ）当时,试将表示成的函数,并探究函数是否有极值；
（Ⅱ）当时，若存在，使成立，试求的范围.

Answer 1

（Ⅰ）当时在定义域内有且仅有一个极值，当时在定义域内无极值;
（Ⅱ）或

试题分析：（Ⅰ）观察与的特点，可得，，，即可得到函数，观察此函数特征可想到对其求导得，由二次函数的图象不难得出在上有解的条件，进而求出的范围; （Ⅱ）由可得，又由可得，故可令函数的最大值为正，对函数求导令其为0得求出，由与，和与的大小关系对进行分类讨论，并求出各自情况的最大值，由最大值大于零即可求出的范围．
试题解析：（Ⅰ）∵,
,
∴ ∴      (3分)
设是的两根，则，∴在定义域内至多有一解,
欲使在定义域内有极值，只需在内有解，且的值在根的左右两侧异号，∴得               (6分)
综上：当时在定义域内有且仅有一个极值，当时在定义域内无极值．
（Ⅱ）∵存在，使成立等价于的最大值大于0，
∵，∴,
∴得.
当时，得；
当时，得          (12分)
当时，不成立                (13分)
当时，得；
当时，得；
综上得：或              (16分)