Question

α、β是实系数x的方程x²+2(m-1)x+m²-4=0的两个实根，记y=α²+β²,求y=f(m)的解析式、定义域、值域.

Answer 1

解析：y=α²+β²=(α+β)²-2αβ=4(m-1)²-2(m²-4)=4m²-8m+4-2m²+8=2m²-8m+12.

    ∵由于x²+2(m-1)x+m²-4=0有两实根，

    ∴4(m-1)²-4(m²-4)≥0,即m≤.

    ∴y=α²+β²=2m²-8m+12的定义域为（-∞，］.函数y=2m²-8m+12(m∈(-∞,］)的图象如上图.

    ∴函数的最小值为y_min=2×2²-8×2+12=4,故其值域为［4，+∞).