Question

已知t＞0，关于x的方程|x|+

t-x2

=

2

，则这个方程有相异实根的个数情况是

0或2或3或4

．

Answer 1

分析：因为关于x的方程|x|+

t-x2

=

2

等号两边均为正数，所以方程等价于方程|x|-

2

=-

t-x2

，再转化为C1：y=|x|-

2

，C2：y=-

t-x2

的图象的交点问题，可通过在同一坐标系中做出函数C1：y=|x|-

2

，C2：y=-

t-x2

，的图象，通过判断图象交点个数来判断方程的相异实根根数．

解答：解：令C1：y=|x|-

2

，C2：y=-

t-x2

，
由于y=|x|-

2

=

x- 2 ，x≥0 -x- 2，x＜0

，
方程y=-

t-x2

平方得：x²+y²=t，（y≤0），
画出它们的图象，如图所示，一个是折线，一个是半个圆．
当圆心（0，0）到直线y=x-

2

的距离等于半径时，
即

|- 2 |

2

=1=

t

时，t=1；
当圆经过点（0，-

2

）时，0²+（-

2

）²=t，⇒t=2．
利用数形结合知：当0＜t＜1或t＞2时，方程无实数根；
当t=1时，方程有2个实数根；
当t=2时，方程有3个实数根；
当1＜t＜2时，方程有4个实数根．
综合，则这个方程有相异实根的个数情况是 2或3或4．
故答案为：0或2或3或4．

点评：本题主要考查图象法判断方程的实根个数，关键是画出两个函数的图象．