Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{2{y}^{2}}{9}$=1的右顶点，点D（1，0），点P，B在椭圆上，且在x轴上方，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$．
（1）求直线BD的方程；
（2）已知抛物线C：x²=2py（p＞0）过点P，点Q是抛物线C上的动点，设点Q到点A的距离为d₁，点Q到抛物线C的准线的距离为d₂，求d₁+d₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得BP=DA=2，P（1，2），B（-1，2），由此能求出直线BD的方程．
（2）由已知求出p=$\frac{1}{4}$，d₂=|QF|，从而当A、Q、F三点共线时，d₁+d₂有最小值．

解答 解：（1）∵BP=DA，且A（3，0），D（1，0），
∴BP=DA=2，而B、P关于y轴对称，
∴点P的横坐标为1，从而得到P（1，2），B（-1，2），
∴直线BD的方程为：$\frac{y}{x-1}=\frac{2}{-1-1}$，整理，得：x+y-1=0．
（2）∵抛物线C：x²=2py（P＞0）过点P（1，2），
∴4p=1，即p=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线C的焦点为F，则d₂=|QF|，
∴当A、Q、F三点共线时，d₁+d₂有最小值，
即（d₁+d₂）_min=|AF|=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{1}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{577}}{8}$．

点评 本题考查直线方程的求法，考查两点间距离和点到抛物线的准线的距离之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和抛物线性质的合理运用．