Question

若函数f（x）=sin^₂x+2cos²x+m在R上的最大值为5，
（1）求m的值；
（2）求y=f（x）的单调递减区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据二倍角公式以及两角和与差公式化简函数f（x）=2sin（2x+）+1+m，进而得出2+1+m=5，即可求出m的值．
（2）令 +2kπ≤2x+≤+2kπ，求得x的范围，即可求得函数的单调减区间．
解答：解：（1）∵f（x）=sin^₂x+2cos²x+m=sin^₂x+cos^₂x+1+m=2sin（2x+）+1+m       …（4分）
∴f（x）max=2+1+m=5
故 m=2                                          …（6分）
（2）由（1）可知 f（x）=2sin（2x+）+3
则 +2kπ≤2x+≤+2kπ，
解得 kπ+≤x≤+kπ                              …（10分）
所以，函数y=f（x）的单调递减区间为[kπ+，+kπ]（k∈Z）   …（12分）
点评：本题考查三角恒等变换及化简求值，三角函数的最值、单调性，属于中档题．