Question

已知A（-3，0），B（3，0），三角形PAB的内切圆的圆心M在直线x=2上移动．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）某同学经研究作出判断，曲线C在P点处的切线恒过点M，试问：其判断是否正确？若正确，请给出证明；否则说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为三角形PAB的内切圆的圆心M在直线x=2上移动，以及A，B点坐标，可判断P点的轨迹C为以A、B为焦点的双曲线的右支（除去顶点），利用双曲线的定义可求出点P的轨迹C的方程．
（2）因为点M是三角形PAB的内切圆的圆心，若曲线C在P点处的切线恒过点M，则PQ平分∠APB，所以只需证明PQ平分∠APB即可，利用成比例线段可得．

解答：解：（1）设P（x，y）（y≠0），三角形PAB的内切圆M与PA、PB、AB的切点分别为E、F、H
则|PE|=|PF|，|AE|=|AH|，|BF|=|BH|．
∴|PA|-|PB|=|AE|-|BF|=|AH|-|BH|=5-1=4
∴P点的轨迹C为以A、B为焦点的双曲线的右支（除去顶点）
∴曲线C的方程为

x2

4

-

y2

5

=1(x＞2)
（2）此同学的判断是正确的
设P点处曲线的切线交x轴于点Q，下证：PQ平分∠APB．
不妨设P（x₀，y₀）（y₀＞0）．
∵当x＞2，y＞0时，曲线C满足y=

5

2

x2-4

∴y′=

5

2

x

x2-4

，
则曲线C在点P处的切线的斜率k=y′|x0=

5

2

x0

x 2 0 -4

=

5x0

4y0

∴直线PQ的方程为y-y0=

5x0

4y0

(x-x0)．
取y=0，
得x=

5 x 2 0 -4 y 2 0

5x0

=

20

5x0

=

4

x0

∴Q(

4

x0

，0)
∴

|QA|

|QB|

=

4 x0 +3

3- 4 x0

=

3x0+4

3x0-4

又

|PA|

|PB|

=

ex0+a

ex0-a

=

3 2 x0+2

3 2 x0-2

=

3x0+4

3x0-4

∴

|QA|

|QB|

=

|PA|

|PB|

，即PQ平分∠PAB
∴PQ恒过点M，得证

点评：本题考查了椭圆定义的应用，以及恒过定点问题，做题时应认真分析，找到突破口．