题目内容
已知A（-3，0），B（3，0）．若△ABC周长为16．
（1）求点C轨迹L的方程；
（2）过O作直线OM、ON，分别交轨迹L于M、N点，且OM⊥ON，求S△MON的最小值；
（3）在（2）的前提下过O作OP⊥MN交于P点．求证点P在定圆上，并求该圆的方程．
（1）求点C轨迹L的方程；
（2）过O作直线OM、ON，分别交轨迹L于M、N点，且OM⊥ON，求S△MON的最小值；
（3）在（2）的前提下过O作OP⊥MN交于P点．求证点P在定圆上，并求该圆的方程．
分析：（1）利用A，B是定点，△ABC周长为16，可知点C轨迹为以A，B为焦点的椭圆（除去与x轴的两个交点），故可求轨迹方程；
（2）显然OM，ON斜率均存在．分别求出OM，ON的长，进而可表示面积，利用基本不等式可求S△MON的最小值
（3）要证点P一定在定圆上，可证，OP为定长，从而得解．
（2）显然OM，ON斜率均存在．分别求出OM，ON的长，进而可表示面积，利用基本不等式可求S△MON的最小值
（3）要证点P一定在定圆上，可证，OP为定长，从而得解．
解答：解：（1）由已知：|AC|+|BC|+|AB|=16
∴|AC|+|BC|=10
∴a=5，c=3
∴b2=a2-c2=16
∴点C的轨迹为：
+
=1 (y≠0)
（2）显然OM，ON斜率均存在．设OM：y=kx，则ON：y=-
x
联立OM与L可知：
+
=1⇒x2=
∴|OM|=
•|x|=
同理|ON|=
=
∴S△MON=
|OM|•|ON|=
≥
•
=
当且仅当：
+
=
+
时取“=”即k=±1时取“=”
∴S△MON的最小值为
（3）由已知：|MN|=
=
∴|OP|=
=
=
=
∴点P一定在定圆x2+y2=
上．
∴|AC|+|BC|=10
∴a=5，c=3
∴b2=a2-c2=16
∴点C的轨迹为：
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 16 |
（2）显然OM，ON斜率均存在．设OM：y=kx，则ON：y=-
| 1 |
| k |
联立OM与L可知：
| x2 |
| 25 |
| k2x2 |
| 16 |
| 1 | ||||
|
∴|OM|=
| 1+k2 |
|
|
|
∴S△MON=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
|
| 1 |
| 2 |
| 1+k2 | ||||||||||
|
| 400 |
| 41 |
当且仅当：
| 1 |
| 25 |
| k2 |
| 16 |
| k2 |
| 25 |
| 1 |
| 16 |
∴S△MON的最小值为
| 400 |
| 41 |
（3）由已知：|MN|=
| |OM|2+|ON|2 |
|
∴|OP|=
| |OM|•|ON| |
| |MN| |
| ||||||||||||||||
|
|
20
| ||
| 41 |
∴点P一定在定圆x2+y2=
| 400 |
| 41 |
点评：本题以三角形为载体，考查椭圆的方程，考查轨迹问题，考查利用基本不等式解决三角形的面积最小值，有一定的综合性．
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