题目内容
在四棱锥P-ABCD中（如图），底面是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD，点M，N分别是PC，AB的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求直线PB与底面ABCD所成的角的正切值．
分析：（1）利用面面平行，证明线面平行即可；
（2）AD的中点F，连接PF，BF，则∠PBF是直线PB与平面ABCD所成的角，从而可得结论．
（2）AD的中点F，连接PF，BF，则∠PBF是直线PB与平面ABCD所成的角，从而可得结论．
解答：
（1）证明：取DC的中点E，连接EM、EN，
∵M，N分别是PC、AB的中点，∴ME∥PD，NE∥AD，
∵ME∩NE=E，PD∩AD=D
∴平面MNE∥平面PAD
∵MN?平面MNE，
∴MN∥平面PAD；
（2）解：取AD的中点F，连接PF，BF
∵△PAD为正三角形，∴PF⊥AD
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PF⊥底面ABCD，
∴∠PBF是直线PB与平面ABCD所成的角
设AD=2，则PF=
，BF=
在直角△PFB中，tan∠PBF=
=
．
（1）证明：取DC的中点E，连接EM、EN，∵M，N分别是PC、AB的中点，∴ME∥PD，NE∥AD，
∵ME∩NE=E，PD∩AD=D
∴平面MNE∥平面PAD
∵MN?平面MNE，
∴MN∥平面PAD；
（2）解：取AD的中点F，连接PF，BF
∵△PAD为正三角形，∴PF⊥AD
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PF⊥底面ABCD，
∴∠PBF是直线PB与平面ABCD所成的角
设AD=2，则PF=
| 3 |
| 5 |
在直角△PFB中，tan∠PBF=
| PF |
| BF |
| ||
| 5 |
点评：本题考查面面平行，考查线面角，考查学生的计算能力，正确作出线面角是关键．
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