题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4．AB=2，AN⊥PC于点N，M是PD中点．（1）用空间向量证明：AM⊥MC，平面ABM⊥平面PCD．
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值．
（3）求点N到平面ACM的距离．
分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算证明即可．
（2）求出平面的法向量，利用向量数量积运算公式，求解．
（3）根据AN⊥PC，利用射影定理求出
，再利用公式求出P的平面的距离，然后求N到平面的距离．
（2）求出平面的法向量，利用向量数量积运算公式，求解．
（3）根据AN⊥PC，利用射影定理求出
| NC |
| PC |
解答：
解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）
=（-2，-2，2），
=（0，2，2），
∵
•
=-4+4=0，∴CM⊥AM
∵PA=AD，M为PD的中点，∴AM⊥PD
∴AM⊥平面PCD，AM?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD
（2）设
=（x，y，z）是平面ACM的法向量，则
，令z=-1，得
=（-2，1，-1）
=（-2，0，0）
设直线CD与平面ACM所成角为α，则sinα=
=
．
（3）∵AN⊥NC．在Rt△PAC中，PA2=PN×PC，PC=6，∴PN=
，则NC=PC-PN=
，
=
，∴所求距离等于点P到平面ACM距离的
，
设点P到平面ACM距离为h，则h=|
|=
=
，
∴点N到平面ACM的距离为
．
解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）
| CM |
| AM |
∵
| CM |
| AM |
∵PA=AD，M为PD的中点，∴AM⊥PD
∴AM⊥平面PCD，AM?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD
（2）设
| n |
|
| n |
| CD |
设直线CD与平面ACM所成角为α，则sinα=
| ||||
|
|
| ||
| 3 |
（3）∵AN⊥NC．在Rt△PAC中，PA2=PN×PC，PC=6，∴PN=
| 8 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
| NC |
| PC |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
设点P到平面ACM距离为h，则h=|
| ||||
|
|
| 4 | ||
|
2
| ||
| 3 |
∴点N到平面ACM的距离为
10
| ||
| 27 |
点评：本题考查利用向量法求空间角、空间距离问题．利用向量求直线与平面所成的角及点到平面的距离关键是求得平面的法向量．
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