题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，O为底面中心，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB．M是PD的中点（1）求证：直线MO∥平面PAB；
（2）求证：平面PCD⊥平面ABM．
分析：（1）利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明．
（2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明．
解答：证明：（1）如图所示：
连接OM，∵O为底面中心，∴BO=OD．
又M是PD的中点，∴OM∥PB．
∵OM?平面PAB，PB?平面PAB．
∴OM∥平面PAB．
（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，PA⊥AD．
在Rt△PAD中，PA=AD，PM=MD，∴AM⊥PD．
∵PD∩CD=D，∴AM⊥平面PCD．
∵AM?平面ABM，∴平面ABM⊥平面PCD．
连接OM，∵O为底面中心，∴BO=OD．
又M是PD的中点，∴OM∥PB．
∵OM?平面PAB，PB?平面PAB．
∴OM∥平面PAB．
（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，PA⊥AD．
在Rt△PAD中，PA=AD，PM=MD，∴AM⊥PD．
∵PD∩CD=D，∴AM⊥平面PCD．
∵AM?平面ABM，∴平面ABM⊥平面PCD．
点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、线面及面面垂直的判定和性质定理是解题的关键．
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